જો n geq 1 માટે,P_n = intlimits_1^e (log x)^n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$. ધારો કે $\log x = t$,તેથી $x = e^t$ અને $dx = e^t \, dt$. જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 0$ અને જ

Vedclass · Accepted Answer

$-9e$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$. ધારો કે $\log x = t$,તેથી $x = e^t$ અને $dx = e^t \, dt$. જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 0$ અને જ્યારે $x = e$,ત્યારે $t = 1$. આમ,$P_n = \int\limits_0^1 t^n e^t \, dt$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. ધારો કે $u = t^n$ અને $dv = e^t \, dt$,તેથી $du = nt^{n-1} \, dt$ અને $v = e^t$. $P_n = [t^n e^t]_0^1 - n \int\limits_0^1 t^{n-1} e^t \, dt = e - n P_{n-1}$. તેથી,$P_{10} = e - 10 P_9$. વળી,$P_9 = e - 9 P_8$. $P_{10}$ ના સમીકરણમાં $P_9$ ની કિંમત મૂકતા: $P_{10} = e - 10(e - 9 P_8) = e - 10e + 90 P_8$. $P_{10} = -9e + 90 P_8$. તેથી,$P_{10} - 90 P_8 = -9e$.

જો $n \geq 1$ માટે,$P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$ હોય,તો $P_{10} - 90P_8$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{-8}^{8} \frac{x^{5}+x^{3}}{4-x^{2}} \, dx = $

$\int_1^3 \frac{\log x^2}{\log \left(16 x^2-8 x^3+x^4\right)} d x=\ldots$

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x=$

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\sin 2\theta } } \sin \theta \,d\theta$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\sin 2x} \, dx = \alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3}$,જ્યાં $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ સંમેય સંખ્યાઓ હોય,તો $3\alpha + 4\beta - \gamma$ ની કિંમત .......... થાય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module